√2が無理数であることを証明せよ。（中学生版）

たかです
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中3で初めて√を習いますが、このとき「無理数＝分数で表せない数」と学習します。
さて本当に√2は分数で表すことができないのでしょうか？

背理法というやり方で証明していきます。

${ \displaystyle\sqrt{2}}$ が無理数ではないと仮定すると、
${ \displaystyle\sqrt{2}}$ は互いに素である２つの自然数 ${ \displaystyle　a}$ 、 ${ \displaystyle　b}$ を用いて、 ${ \displaystyle\sqrt{2}}$ ＝ ${ \displaystyle　\frac{a}{b}}$ と表すことができる。
この式の両辺をそれぞれ2乗すると、

2＝ ${ \displaystyle　\frac{a^2}{b^2}}$ となり、これを変形して　 ${ \displaystyle　2b^2=a^2}$ となる。
ここで、 ${ \displaystyle　2b^2}$ は偶数になるので、 ${ \displaystyle　a^2}$ も偶数である。
よってa,bはどちらも偶数なので公約数2を持ち、互いに素であるという仮定に矛盾する。
よって ${ \displaystyle\sqrt{2}}$ は無理数である。

ちなみに京都大の入試で、√2が無理数であることを「背理法を使わずに」証明せよ。という問題が出題されたことがあります。
文系のたかは全く見当がつきません＞＜